APLICACIONES A LA ECONOMÍA : Costo Marginal.

El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.

Ahora, supongamos que tenemos una función costoQ(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:

Q(x +h)- Q(x):

Al cociente

Q (x + h)- Q (x)
                 h

Se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el límite del cociente anterior al tender h a cero,

lím x - 0 Q(x +h) -Q(x)                     h

Se le llama costo marginal por producir h unidades adicionales, es decir,

Costo marginal = Q’(x)

Como se analizó anteriormente, en la práctica solamente se conocen puntos aislados de la gráfica de la función costo, por tanto no es posible, en general, conocer la función que corresponde a tales puntos de la gráfica de la función costo, es por eso que se recurre a utilizar lo que se conoce como el análisis marginal, que consiste en determinar el costo por producir la siguiente unidad por medio de los puntos que se conocen en la gráfica, de la siguiente manera:

Al suponer que se tienen algunos puntos de cierta gráfica y que no se conoce la función costo a la que corresponden no se puede calcular el costo marginal al producir h unidades adicionales pero, se puede calcular, por extrapolación, el costo por producir la siguiente unidad, ya que se conoce el costo en el punto x+1 (además de conocer el costo en el punto x); entonces, el costo adicional por producir 1 unidad más es:

Q(x+ 1) Q(x):

Si se considera que en la práctica el dominio de la función Q es un subconjunto de los

Números naturales y por tanto que x + h 2 N1, y que además, el punto más próximo a cero es 1, entonces, podemos considerar una aproximación al costo marginal dada por la relación anterior, de la siguiente manera,

Q(x+ h) Q(x) ¼ Q0(x):

1.    Observe que h se encuentra en los naturales.

Cabe mencionar que, para que ésta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la gráfica de la función costo sea una curva suave, (dentro de determinado intervalo el comportamiento de la gráfica no varía mucho) y se requiere considerar, además, que se producen solamente unidades completas (ver ejemplo 3). En el ejemplo 4 se ilustra el caso en que la función costo no es una curva suave.

EJEMPLOS

1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función

Q(x) = 100; 000+ 1; 500x +0:2x2

El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo.

Solución:

Utilizando la definición de costo marginal, se tiene que es:

Q0(x) = 1; 500 +0:4x;

y el costo por producir 1 auto más es,

Q 0(100) = 1; 540 pesos;

Esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540.

La función costo promedio es,

q(x) = 100,000  +1; 500+ 0:2x; 
                x

El costo promedio al producir 100 autos es,

q(100) = 2;520 pesos;

Como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.

2.- Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función, Q(x) = x2 +2x +2: Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602.

Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla.

Solución:

La función costo marginal es, en este caso,

Q0(x) = 2x +2;

el costo marginal por producir 1 artículo más es de

Q0(300) = 602 pesos;

La función costo promedio es, en este caso,

q(x) = x+ 2+

y el costo promedio al producir 300 artículos es

q(300) = 302:01 pesos; es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.

3.- Utilizando el análisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar los resultados.

Solución:

La función costo total es Q(x) = x2 +2x+ 2;

El costo por producir 300 artículos es Q(300) = 90;602 pesos;

El costo por producir 301 artículos es Q(301) = 91;205 pesos;

Y el costo marginal por producir 1 unidad más, después de las 300 unidades iniciales es

Q(301)- Q(300) = 603 pesos;

Esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad más es de $603 y como es mayor que el costo promedio por producir 300 unidades, no conviene producir la siguiente unidad.

Comparando con el resultado anterior, Q(301) -Q(300) = 603 ¼ 602 = Q0(300), se tiene que la aproximación es buena ya que, la curva de la función costo es una curva suave

.

4.- La función costo total por producir un artículo es Q(x) = 5 : El costo por producir 50 artículos es Q(50) = 110; 132:33 pesos:

Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad, mediante el uso de la definición y mediante el análisis marginal.

Solución:

Por definición de la función costo marginal Q0(x) =

El costo adicional por producir 1 unidad más es Q0(50) = 22;026:5 pesos:

Utilizando el análisis marginal el costo por producir una unidad adicional es

Q(51) Q(50) = 24;383:6 pesos.

Al comparar resultados, se tiene que Q0 (50) 6= Q(51) - Q(50), así, se tiene que en contraposición a lo obtenido en el ejemplo 3 esta aproximación no es buena, es de esperarse este resultado pues la curva de la función no es una curva suave.