jueves, 16 de junio de 2011

INTRODUCCIÓN

La Matemática como ciencia ha proporcionado al hombre las más poderosas herramientas para enfrentar los más disímiles problemas de la cotidianidad. La mayoría de los campos del saber humano se valen de técnicas matemáticas para indagar en la explicación de relaciones causales de los procesos y fenómenos que ocurren en cada especialidad.

MARCO TEÓRICO

Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.

APLICACIONES A LA ECONOMÍA : Costo Marginal.

El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.
Ahora, supongamos que tenemos una función costoQ(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:
Q(x +h)- Q(x):
Al cociente
Q (x + h)- Q (x)
                 h
Se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el límite del cociente anterior al tender h a cero,

lím x - 0 Q(x +h) -Q(x)
                    h

Se le llama costo marginal por producir h unidades adicionales, es decir,
Costo marginal = Q’(x)
Como se analizó anteriormente, en la práctica solamente se conocen puntos aislados de la gráfica de la función costo, por tanto no es posible, en general, conocer la función que corresponde a tales puntos de la gráfica de la función costo, es por eso que se recurre a utilizar lo que se conoce como el análisis marginal, que consiste en determinar el costo por producir la siguiente unidad por medio de los puntos que se conocen en la gráfica, de la siguiente manera:
Al suponer que se tienen algunos puntos de cierta gráfica y que no se conoce la función costo a la que corresponden no se puede calcular el costo marginal al producir h unidades adicionales pero, se puede calcular, por extrapolación, el costo por producir la siguiente unidad, ya que se conoce el costo en el punto x+1 (además de conocer el costo en el punto x); entonces, el costo adicional por producir 1 unidad más es:
Q(x+ 1) Q(x):

Si se considera que en la práctica el dominio de la función Q es un subconjunto de los
Números naturales y por tanto que x + h 2 N1, y que además, el punto más próximo a cero es 1, entonces, podemos considerar una aproximación al costo marginal dada por la relación anterior, de la siguiente manera,

Q(x+ h) Q(x) ¼ Q0(x):
1.    Observe que h se encuentra en los naturales.
Cabe mencionar que, para que ésta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la gráfica de la función costo sea una curva suave, (dentro de determinado intervalo el comportamiento de la gráfica no varía mucho) y se requiere considerar, además, que se producen solamente unidades completas (ver ejemplo 3). En el ejemplo 4 se ilustra el caso en que la función costo no es una curva suave.

EJEMPLOS
1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función

Q(x) = 100; 000+ 1; 500x +0:2x2

El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo.

Solución:
Utilizando la definición de costo marginal, se tiene que es:
Q0(x) = 1; 500 +0:4x;
y el costo por producir 1 auto más es,
Q 0(100) = 1; 540 pesos;
Esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540.
La función costo promedio es,

q(x) = 100,000  +1; 500+ 0:2x; 
                x
El costo promedio al producir 100 autos es,
q(100) = 2;520 pesos;
Como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.

2.- Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función, Q(x) = x2 +2x +2: Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602.
Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla.
Solución:
La función costo marginal es, en este caso,
Q0(x) = 2x +2;
el costo marginal por producir 1 artículo más es de
Q0(300) = 602 pesos;
La función costo promedio es, en este caso,
q(x) = x+ 2+
y el costo promedio al producir 300 artículos es
q(300) = 302:01 pesos; es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.

3.- Utilizando el análisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar los resultados.

Solución:
La función costo total es Q(x) = x2 +2x+ 2;
El costo por producir 300 artículos es Q(300) = 90;602 pesos;
El costo por producir 301 artículos es Q(301) = 91;205 pesos;
Y el costo marginal por producir 1 unidad más, después de las 300 unidades iniciales es
Q(301)- Q(300) = 603 pesos;
Esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad más es de $603 y como es mayor que el costo promedio por producir 300 unidades, no conviene producir la siguiente unidad.

Comparando con el resultado anterior, Q(301) -Q(300) = 603 ¼ 602 = Q0(300), se tiene que la aproximación es buena ya que, la curva de la función costo es una curva suave
.
4.- La función costo total por producir un artículo es Q(x) = 5 : El costo por producir 50 artículos es Q(50) = 110; 132:33 pesos:
Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad, mediante el uso de la definición y mediante el análisis marginal.

Solución:
Por definición de la función costo marginal Q0(x) =
El costo adicional por producir 1 unidad más es Q0(50) = 22;026:5 pesos:
Utilizando el análisis marginal el costo por producir una unidad adicional es

Q(51) Q(50) = 24;383:6 pesos.

Al comparar resultados, se tiene que Q0 (50) 6= Q(51) - Q(50), así, se tiene que en contraposición a lo obtenido en el ejemplo 3 esta aproximación no es buena, es de esperarse este resultado pues la curva de la función no es una curva suave.

Ingreso Marginal.

De manera análoga a la definición de costo marginal se puede definir el ingreso marginal, que es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un producto o servicio.
Observemos que si cada una de las unidades de un producto se vende al mismo precio, entonces, el ingreso marginal siempre es igual al precio.

Beneficio Marginal

La ganancia o beneficio marginal es la diferencia que existe entre el ingreso marginal y el costo marginal.
La regla básica que se utiliza para saber si se produce o no la siguiente unidad es:
a) Si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal, entonces, se producirá la siguiente unidad.
b) Si el ingreso marginal es menor que el costo marginal, entonces no se producirá la siguiente unidad, ya que el producirla generaría pérdidas.
c) Si el ingreso marginal es igual al costo marginal, entonces tampoco se producirá la siguiente unidad, debido a que el beneficio ya es máximo, (se demostrará en la página ( ) en la sección sobre máximos y mínimos).

2.1 COSTOS

Si el número de unidades de un bien es .x ; entonces el costo Total puede expresarse como: A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos

COSTO PROMEDIO

Cp =  C (x)  / x   = y

COSTO MARGINAL

Los economistas denominan beneficio marginal, ingreso marginal, costo marginal a los ritmos de cambio de los beneficios de los ingresos y de los costos con respecto al número de unidades vendidas.

Cm = C ‘ (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL

Cpm = dy /dx =  xC’(X) – C(x)  / x^2      è d/dx * Cp



Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes
Costo Promedio: Cp  = C(x) / X  =  ax+b / x  = a + b/x
Costo Marginal: Cm = C’(x) = a
Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2

UTILIDAD

Función de Utilidad: representa el grado de provecho o satisfacción de a un consumidor a una mercancía.Utilidad marginal: representa la satisfacción adicional obtenida por el consumo de una unidad adicional del bien

DEMANDA Y OFERTA

Curva de oferta: es la relación entre el precio de un bien en el mercado y la cantidad que los productores están dispuestos a producir y vender, manteniéndose todo lo demás constante (tecnología, precios de las materias primas e insumos, impuestos y subsidios, etc.).